Để hàm số có đạo hàm tại 1 điểm thì nó phải liên tục tại điểm đó đồng thời đạo hàm trái bằng đạo hàm phải

\(\lim\limits_{x\rightarrow0^-}\left(2ax+1\right)=1\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\left(x^2+ax+1\right)=1\)

\(\Rightarrow\) Hàm liên tục tại \(x=1\)

\(y'\left(0^+\right)=2a\)

\(y'\left(0^-\right)=\left(2x+a\right)_{x=0^-}=a\)

Hàm có đạo hàm tại x=0 \(\Leftrightarrow2a=a\Leftrightarrow a=0\)

\(f\left(0\right)=1\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow0^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^+}\left(x^2+x+1\right)=1\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow0^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^-}\left(x+2ax\right)=0\)

Để hàm liên tục tại \(x=0\)

\(\Leftrightarrow f\left(0\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow0^-}f\left(x\right)\)

\(\Leftrightarrow1=1=0\) (vô lý)

Vây ko tồn tại giá trị a thỏa mãn yêu cầu

//Bạn coi lại đề chỗ \(x+2ax\) có phải là \(x^2+2a\) hoặc \(x+2a\)?

Khi `x<0` : Hàm số `f(x)` liên tục tại `x=0`.

Khi `x>0`: Hàm số `f(x)` liên tục tại `x=0`.

Có:

`f(0) = 1`

\(\lim_\limits{x\to0^-}f(x)=\lim_\limits{x\to0}(x+2ax)=0\)

\(\lim_\limits{x\to0^+}f(x)(x^2+x+1)=1\)

`=>` \(\lim_\limits{x\to0^-}f(x) \ne \lim_\limits{x\to0^+} f(x)\)

`=>` Không có giá trị của a thỏa mãn.

Lời giải:
\(\lim\limits_{x\to 1+}f(x)=\lim\limits_{x\to 1+}(5x-2)=3\)

\(\lim \limits_{x\to 1-}f(x)=\lim \limits_{x\to 1-}(2+2x)=4\)

\(\Rightarrow \lim\limits_{x\to 1+}f(x)\neq \lim \limits_{x\to 1-}f(x)\)

Do đó hàm số không liên tục tại $x=1$

\(\lim\limits_{x\rightarrow1^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^-}2x+2=2\cdot1+2=4\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow1^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^+}5x-2=5-2=3\)

\(f\left(1\right)=2+2\cdot2=4\)

Vì \(\lim\limits_{x\rightarrow1^-}f\left(x\right)< >\lim\limits_{x\rightarrow1^+}f\left(x\right)\)

nên hàm số bị gián đoạn tại x=1

(1)-a)Với mọi x, ta luôn có: \(\left(x+1\right)^2+3>0\Leftrightarrow x^2+1+2x+3>0\Leftrightarrow x^2+2x+4>0\)

            \(\sqrt{x^2+2x+4}=2\Leftrightarrow x^2+2x+4=2^2=4\)

                                           \(\Leftrightarrow x^2+2x=0\\\Leftrightarrow\left(x+2\right)x=0\\\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+2=0\Leftrightarrow x=-2\\x=0\end{matrix}\right. \)

        ➤\(x\in\left\{-2;0\right\}\)

b) \(\left\{{}\begin{matrix}x+2y-1=0\\2x+y=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+2y=1\\4x+2y=10\end{matrix}\right.\)

                                  \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2y=1-x\\3x=9\Leftrightarrow x=\dfrac{9}{3}=3\end{matrix}\right.\)

Do \(x=3\Leftrightarrow1-x=1-3=-2\) nên ta có: \(2y=1-x=-2\Leftrightarrow y=\dfrac{-2}{2}=-1\)

➤\(\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=-1\end{matrix}\right.\)

(2): +)ĐK để 2 hàm số cắt nhau là: \(2a\ne1\Leftrightarrow a\ne\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow a\ne0,5\) 

Ta có hệ phương trình sau: \(\left\{{}\begin{matrix}y=2ax+a+1\\y=x+2\end{matrix}\right.\)

➢Do đó, ta có: \(2ax+a+1=x+2\Leftrightarrow2ax+a-x=2-1=1\)

Hàm liên tục với mọi \(x\ne1\)

Xét tại \(x=1\) ta có:

\(\lim\limits_{x\rightarrow1^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^-}\left(2x^2+3x\right)=2.1^2+3.1=5\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow1^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^+}\left(ax+2\right)=a+2\)

\(f\left(1\right)=a+2\)

Hàm liên tục trên toàn R khi hàm liên tục tại \(x=1\)

\(\Leftrightarrow\lim\limits_{x\rightarrow1^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^+}f\left(x\right)=f\left(1\right)\)

\(\Leftrightarrow a+2=5\Rightarrow a=3\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow1^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^+}\dfrac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}=\lim\limits_{x\rightarrow1^+}\dfrac{x-1}{\left(x-1\right)\left(\sqrt{x+3}+2\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow1^+}\dfrac{1}{\sqrt{x+3}+2}=\dfrac{1}{4}\)

\(f\left(1\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^-}\left(ax+2\right)=a+2\)

Hàm liên tục tại x=1 khi:

\(a+2=\dfrac{1}{4}\Rightarrow a=-\dfrac{7}{4}\)

- Với \(x< 3\Rightarrow f'\left(x\right)=6x^2-6\left(m+1\right)x+6m=6\left(x-1\right)\left(x-m\right)\)

\(f'\left(x\right)=0\Rightarrow6\left(x-1\right)\left(x-m\right)=0\left(1\right)\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=m\end{matrix}\right.\) có tối đa 2 cực trị khi \(x< 3\)

- Với \(x>3\Rightarrow f'\left(x\right)=n\) là hằng số \(\Rightarrow f\left(x\right)\) ko có cực trị khi \(x>3\)

\(\Rightarrow\) Hàm có đúng 3 điểm cực trị khi và chỉ khi nó đồng thời thỏa mãn:

ĐK1: \(f'\left(x\right)=0\) có 2 nghiệm pb khi \(x< 3\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 3\\m\ne1\end{matrix}\right.\)

ĐK2: \(x=3\) là 1 cực trị của hàm số

\(\Rightarrow f\left(x\right)\) liên tục tại \(x=3\) đồng thời đạo hàm đổi dấu khi đi qua \(x=3\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow3^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow3^-}f\left(x\right)\Leftrightarrow3n+46=25-9m\Rightarrow n=-3m-7\) (2)

Mặt khác do 2 nghiệm của (1) đều nhỏ hơn 3 \(\Rightarrow\) tại lân cận trái của \(x=3\) đạo hàm luôn có dấu dương

\(\Rightarrow\) Để đạo hàm đổi dấu khi đi qua \(x=3\) thì \(f'\left(3^+\right)=n< 0\)

Thế vào (2) \(\Rightarrow-3m-7< 0\Rightarrow m>-\dfrac{7}{3}\)

\(\Rightarrow-\dfrac{7}{3}< m< 3\Rightarrow\sum m=0\)

Bài 1:

\(f\left(-x\right)=\left|\left(-x\right)^3+x\right|=\left|-x^3+x\right|=\left|-\left(x^3-x\right)\right|=\left|x^3-x\right|=f\left(x\right)\)

Vậy hàm số chẵn

Bài 2:

\(f\left(4\right)=4-3=1\\ f\left(-1\right)=2.1+1-3=0\\ b,\text{Thay }x=4;y=1\Leftrightarrow4-3=1\left(\text{đúng}\right)\\ \Leftrightarrow A\left(4;1\right)\in\left(C\right)\\ \text{Thay }x=-1;y=-4\Leftrightarrow2\left(-1\right)^2+1-3=-4\left(\text{vô lí}\right)\\ \Leftrightarrow B\left(-1;-4\right)\notin\left(C\right)\)